แนวคิด: เทียบกับ $x = A\sin(\omega t)$ ได้ $A = 0.08\text{ m}$ และ $\omega = 10\text{ rad/s}$

1) อัตราเร็วสูงสุด: $v_{\max} = \omega A = 10 \times 0.08 = \mathbf{0.8\text{ m/s}}$

2) ความเร่งสูงสุด: $a_{\max} = \omega^2 A = 10^2 \times 0.08 = \mathbf{8.0\text{ m/s}^2}$

3) ที่ $x = 0.04\text{ m}$: $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = 10\sqrt{0.08^2 - 0.04^2} = \mathbf{0.4\sqrt{3}\text{ m/s}} \approx 0.69\text{ m/s}$

แนวคิด: เริ่มที่ปลายสุด $+A$ ใช้สมการโคไซน์ $x(t) = A\cos(\omega t)$

1) หาอัตราเร็วเชิงมุม: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\text{ rad/s}$

2) แทนเวลา $t = 0.5\text{ s}$: $\omega t = \frac{\pi}{2}(0.5) = \frac{\pi}{4}\text{ rad} = 45^\circ$

3) ระยะจากสมดุล: $x = 10\cos(45^\circ) = 10\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \mathbf{5\sqrt{2}\text{ cm}} \approx 7.07\text{ cm}$

1) ณ สมดุล: $k\Delta x = mg \Rightarrow k = \frac{0.5 \times 10}{0.025} = \mathbf{200\text{ N/m}}$

2) หาความถี่: $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{200}{0.5}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{400} = \mathbf{\frac{10}{\pi}\text{ Hz}} \approx 3.18\text{ Hz}$

ข้อสังเกต: ระยะดึงปล่อย $4\text{ cm}$ คือแอมพลิจูด $A$ ซึ่งไม่มีผลต่อความถี่ $f$

แนวคิด: จาก $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ เมื่อ $L$ คงตัว จะได้ว่า $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$

1) ตั้งสัดส่วน: $\frac{T_{\text{จันทร์}}}{T_{\text{โลก}}} = \sqrt{\frac{g_{\text{โลก}}}{g_{\text{จันทร์}}}} = \sqrt{6}$

2) คาบใหม่: $T_{\text{จันทร์}} = 2.0\sqrt{6} \approx \mathbf{4.90\text{ s}}$ (แกว่งช้าลงกว่าเดิม)

1) พลังงานกลรวม: $E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}(200)(0.1)^2 = \mathbf{1.0\text{ J}}$

2) พลังงานศักย์ที่ $x = 0.06\text{ m}$: $E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}(200)(0.06)^2 = 0.36\text{ J}$

3) พลังงานจลน์: $E_k = E - E_p = 1.0 - 0.36 = \mathbf{0.64\text{ J}}$

1) หาคาบธรรมชาติของลูกตุ้ม: $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.4}{\pi^2}} = 2\sqrt{0.4} \approx 1.26\text{ s}$

2) เงื่อนไขการสั่นพ้อง: $f_{\text{กระตุ้น}} = f_0 \iff T_{\text{กระตุ้น}} = T_0$

3) ดังนั้นต้องออกแรงกระตุ้นทุกๆ $1.26\text{ วินาที}$ แอมพลิจูดจึงจะเพิ่มขึ้นสูงสุด

1) ยอดถึงท้อง $= 2A = 20\text{ cm} \Rightarrow A = 10\text{ cm} = \mathbf{0.10\text{ m}}$

2) สมดุลไปยอดคลื่นครั้งแรก $= \frac{T}{4} = 0.25\text{ s} \Rightarrow T = \mathbf{1.0\text{ s}}$

3) อัตราเร็วเชิงมุม $\omega = \frac{2\pi}{1.0} = 2\pi\text{ rad/s} \Rightarrow v_{\max} = \omega A = \mathbf{0.2\pi\text{ m/s}}$

1) จาก $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \Rightarrow f \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ เมื่อมวลเพิ่ม $4$ เท่า ความถี่ลดลง $\sqrt{4} = 2$ เท่า

ดังนั้นความถี่ใหม่ $f' = \frac{6}{2} = \mathbf{3\text{ Hz}}$

2) จาก $E = \frac{1}{2}kA^2$ (ไม่ขึ้นกับมวล $m$!) หาก $k$ และ $A$ เท่าเดิม พลังงานรวมเท่าเดิมอยู่แล้ว

1) สันที่ 1 ถึงสันที่ 5 ห่างกัน $5 - 1 = 4$ ช่วงความยาวคลื่น ($4\lambda$)

$4\lambda = 2.4\text{ m} \Rightarrow \lambda = \mathbf{0.6\text{ m}}$

2) อัตราเร็วคลื่น: $v = f\lambda = 5 \times 0.6 = \mathbf{3.0\text{ m/s}}$

ก) $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta x = \frac{2\pi}{40}(10) = \mathbf{\frac{\pi}{2}\text{ rad}}$ ($90^\circ$)

ข) หาคาบจาก $T = \frac{\lambda}{v} = \frac{0.4}{2} = 0.2\text{ s}$

$\Delta\phi = \frac{360^\circ}{T}\Delta t = \frac{360^\circ}{0.2}(0.1) = \mathbf{180^\circ}$ (เฟสตรงข้าม)

1) กฎของสเนลล์: $\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} \Rightarrow \frac{\sin 53^\circ}{\sin 37^\circ} = \frac{20}{v_2}$

$\frac{4/5}{3/5} = \frac{20}{v_2} \Rightarrow v_2 = \mathbf{15\text{ cm/s}}$

2) ความถี่คงตัว $f = 5\text{ Hz}$: $\lambda_2 = \frac{v_2}{f} = \frac{15}{5} = \mathbf{3\text{ cm}}$

แนวคิด: มุมวิกฤตเกิดเมื่อคลื่นเดินทางจาก $v$ น้อย (น้ำตื้น) ไป $v$ มาก (น้ำลึก) โดย $\theta_2 = 90^\circ$

1) $\frac{\sin\theta_c}{\sin 90^\circ} = \frac{\lambda_{\text{ตื้น}}}{\lambda_{\text{ลึก}}} = \frac{3}{6} = 0.5$

2) ดังนั้น $\sin\theta_c = 0.5 \Rightarrow \theta_c = \mathbf{30^\circ}$ (ถ้าตกกระทบมากกว่า $30^\circ$ จะสะท้อนกลับหมด)

1) หาผลต่างระยะทาง: $|S_1P - S_2P| = |10 - 15| = 5\text{ cm}$

2) เทียบกับ $\lambda$: $\frac{|S_1P - S_2P|}{\lambda} = \frac{5}{2} = 2.5$ (ลงท้าย .5 คือแนวบัพ)

3) จาก $(n - \frac{1}{2}) = 2.5 \Rightarrow n = 3$ ดังนั้นอยู่บน แนวบัพที่ 3 ($N_3$)

1) ขอบเขตสูงสุดเมื่อ $\sin\theta \le 1$: $d\sin\theta = n\lambda \Rightarrow n_{\max} \le \frac{d}{\lambda}$

2) $n_{\max} = \lfloor \frac{11}{4} \rfloor = \lfloor 2.75 \rfloor = 2$ (ซ้าย 2 แนว, ขวา 2 แนว)

3) รวมแนวกลาง $A_0$: จำนวนแนวปฏิบัพทั้งหมด $= 2n_{\max} + 1 = 2(2) + 1 = \mathbf{5\text{ แนว}}$

1) 3 ลูป ($n=3$): $L = 3\frac{\lambda}{2} \Rightarrow 1.2 = 1.5\lambda \Rightarrow \lambda = 0.8\text{ m}$

2) อัตราเร็วคลื่น: $v = f\lambda = 60 \times 0.8 = \mathbf{48\text{ m/s}}$

3) ความถี่มูลฐาน: $f_1 = \frac{f_3}{3} = \frac{60}{3} = \mathbf{20\text{ Hz}}$

1) อัตราเร็วคลื่นในสาย: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{100}{0.004}} = \sqrt{25,000} = 50\sqrt{10} \approx 158.1\text{ m/s}$

2) ฮาร์มอนิกที่ 2 ($n=2$): $f_2 = \frac{2v}{2L} = \frac{v}{L} = \frac{50\sqrt{10}}{0.5} = \mathbf{100\sqrt{10}\text{ Hz}} \approx 316.2\text{ Hz}$

1) ระยะห่างระหว่างแถบสว่างติดกัน: $\Delta x = \frac{\lambda L}{d} = \frac{(600 \times 10^{-9})(2)}{0.2 \times 10^{-3}} = 6 \times 10^{-3}\text{ m} = 6\text{ mm}$

2) จากแนวกลาง ($n=0$) ถึงแถบสว่างที่ 3 ($n=3$) ห่างเท่ากับ $3\Delta x$

ระยะบนฉาก: $x_3 = 3 \times 6\text{ mm} = \mathbf{18\text{ mm}} = 1.8\text{ cm}$

1) แถบมืดสลิตคู่ ($n=2$): $d\frac{x}{L} = \left(n - \frac{1}{2}\right)\lambda = 1.5\lambda$

2) แทนค่า: $(0.3 \times 10^{-3})\left(\frac{4.5 \times 10^{-3}}{1.5}\right) = 1.5\lambda \Rightarrow 9 \times 10^{-7} = 1.5\lambda$

3) $\lambda = 6 \times 10^{-7}\text{ m} = \mathbf{600\text{ nm}}$ (แสงสีส้ม-เหลือง)

แนวคิด: ความกว้างแถบสว่างกลางคือระยะระหว่างแถบมืดที่ 1 ($N_1$) ทั้งสองข้าง

1) สูตรสลิตเดี่ยว: $w_0 = 2x_{N_1} = \frac{2\lambda L}{a}$

2) $w_0 = \frac{2(500 \times 10^{-9})(2)}{0.1 \times 10^{-3}} = 20 \times 10^{-3}\text{ m} = \mathbf{20\text{ mm}} = 2.0\text{ cm}$

1) แถบมืดสลิตเดี่ยว ($n=2$): $a\sin\theta = n\lambda$

2) $a\sin 30^\circ = 2(600 \times 10^{-9}) \Rightarrow a(0.5) = 1.2 \times 10^{-6}\text{ m}$

3) ความกว้างช่องสลิต: $a = 2.4 \times 10^{-6}\text{ m} = \mathbf{2.4\text{ }\mu\text{m}}$

1) หาระยะห่างช่อง: $d = \frac{10^{-2}\text{ m}}{5,000} = 2 \times 10^{-6}\text{ m}$

2) อันดับ 1 ($n=1$): $\sin\theta_1 = \frac{500 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-6}} = 0.25 \Rightarrow \theta_1 \approx \mathbf{14.5^\circ}$

3) อันดับสูงสุด: $\sin\theta < 1 \Rightarrow n < \frac{d}{\lambda} = \frac{2000\text{ nm}}{500\text{ nm}} = 4 \Rightarrow n_{\max} = 3$

รวมจำนวนแถบสว่างบนฉาก: $2(3) + 1 = \mathbf{7\text{ แถบ}}$ (ไม่นับ $\theta=90^\circ$)

แนวคิด: ทับตำแหน่งเดียวกันแสดงว่ามุม $\theta$ เท่ากัน จาก $d\sin\theta = n\lambda$

1) $n_1\lambda_1 = n_2\lambda_2 \Rightarrow 2(640) = 3\lambda_2$

2) $\lambda_2 = \frac{1280}{3} \approx \mathbf{426.7\text{ nm}}$ (อยู่ในย่าน แสงสีม่วง-น้ำเงิน)

ก) ความสูงกระจกน้อยสุด $= \frac{h}{2} = \frac{170}{2} = \mathbf{85\text{ cm}}$ (ไม่ขึ้นกับระยะยืน)

ข) จำนวนภาพ: $n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1 = \frac{360^\circ}{60^\circ} - 1 = 6 - 1 = \mathbf{5\text{ ภาพ}}$

1) ความยาวโฟกัสกระจกเว้า ($f>0$): $f = \frac{R}{2} = \frac{40}{2} = +20\text{ cm}$

2) จาก $\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s'} \Rightarrow \frac{1}{20} = \frac{1}{30} + \frac{1}{s'} \Rightarrow \frac{1}{s'} = \frac{3-2}{60} \Rightarrow s' = \mathbf{+60\text{ cm}}$

3) $s' > 0$ คือภาพจริง หัวกลับ หน้ากระจก $60\text{ cm}$ | กำลังขยาย $M = \frac{60}{30} = \mathbf{2\text{ เท่า}}$

ก) คนมองเหรียญ: $\frac{s'}{s} = \frac{n_{\text{ตา}}}{n_{\text{วัตถุ}}} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4} \Rightarrow s' = \frac{3}{4}(1.2) = \mathbf{0.9\text{ m}}$

ข) ปลามองนก: $\frac{s'}{s} = \frac{n_{\text{ตา}}}{n_{\text{วัตถุ}}} = \frac{4/3}{1} = \frac{4}{3} \Rightarrow s' = \frac{4}{3}(3) = \mathbf{4.0\text{ m}}$

1) แก้วสู่น้ำ: $\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{4/3}{1.5} = \frac{4}{4.5} = \mathbf{\frac{8}{9} \approx 0.89}$

2) แก้วสู่อากาศ: $\sin\theta_c = \frac{1.0}{1.5} = 0.67$ ($\theta_c \approx 41.8^\circ$)

เนื่องจากมุมตกกระทบ $60^\circ > 41.8^\circ$ แสงจึงเกิด การสะท้อนกลับหมด 100%

ก) $\frac{1}{15} = \frac{1}{10} + \frac{1}{s'} \Rightarrow \frac{1}{s'} = -\frac{1}{30} \Rightarrow s' = \mathbf{-30\text{ cm}}$ (ภาพเสมือน ขยาย 3 เท่า)

ข) คนสายตาสั้นใช้เลนส์เว้า มองวัตถุไกล ($s=\infty$) ให้ภาพเสมือนอยู่ที่ $s'=-50\text{ cm}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{\infty} + \frac{1}{-50} \Rightarrow f = \mathbf{-50\text{ cm}}$ (กำลังเลนส์ $P = -2\text{ D}$)

1) แสงตกตั้งฉาก ($\theta = 0^\circ, \cos 0^\circ = 1$): $E_1 = \frac{I}{R^2} = \frac{100}{2^2} = \mathbf{25\text{ lux}}$

2) เมื่อระยะห่างเพิ่มเป็น 2 เท่า ($R_2 = 4\text{ m}$): $E_2 = \frac{100}{4^2} = \mathbf{6.25\text{ lux}}$ (ลดลงเหลือ $\frac{1}{4}$ เท่า)